题目内容
【题目】在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图①）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图②）．
如图②所示建立平面直角坐标系，请解答以下问题：
（Ⅰ）设直线BM的解析式为y=kx，求k的值；
（Ⅱ）若MN的延长线与矩形ABCD的边BC交于点P，设矩形的边AB=a，BC=b；
（i）若a=2，b=4，求P点的坐标；
（ii）请直接写出a、b应该满足的条件．
【答案】解：
（Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，如图，
∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折叠知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等边三角形，
∵点M在直线y=kx上，
∴k= 
=tan60°= 
；
（Ⅱ）（i）由题意可知AB=a=2，
在Rt△ABM中，cos∠ABM= 
，
∴ 
= 
，解得BM= 
，
∴BP=BM= ，
∴P（ ，0）；
（ii）由题意可知BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP= 
，
∴b≥ ，
∴a≤ b
【解析】（Ⅰ）连接AN，延长MN交BC于点P，由折叠的性质可证△BMP为等边三角形，由M点的坐标可求得k的值；（Ⅱ）（i）在Rt△ABM中，由三角形的性质可求得BM的长，则可求得BP的长，可求得P点坐标；（ii）由题意可知BC≥BP，在Rt△BNP中，由三角函数的定义可用a表示出BP，则可得到a、b所满足的条件．
【考点精析】利用等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．
