题目内容
(2013•盘锦)如图,AB,CD是⊙O的直径,点E在AB延长线上,FE⊥AB,BE=EF=2,FE的延长线交CD延长线于点G,DG=GE=3,连接FD.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:DF是⊙O的切线.
(1)求⊙O的半径;
(2)求证:DF是⊙O的切线.
分析:(1)⊙0半径为R,则OD=OB=R,在Rt△OEG中,∠OEG=90°,由勾股定理得出方程(R+3)2=(R+2)2+32,求出即可;
(2)证△FDG≌△OEG,推出∠FDG=∠OEG=90°,求出OD⊥DF,根据切线的判定推出即可.
(2)证△FDG≌△OEG,推出∠FDG=∠OEG=90°,求出OD⊥DF,根据切线的判定推出即可.
解答:(1)解:设⊙0半径为R,则OD=OB=R,
在Rt△OEG中,∠OEG=90°,由勾股定理得:OG2=OE2+EG2,
∴(R+3)2=(R+2)2+32,
R=2,
即⊙O半径是2.
(2)证明:∵OB=OD=2,
∴OG=2+3=5,GF=2+3=5=OG,
∵在△FDG和△OEG中
∴△FDG≌△OEG(SAS),
∴∠FDG=∠OEG=90°,
∴∠ODF=90°,
∴OD⊥DF,
∵OD为半径,
∴DF是⊙O的切线.
在Rt△OEG中,∠OEG=90°,由勾股定理得:OG2=OE2+EG2,
∴(R+3)2=(R+2)2+32,
R=2,
即⊙O半径是2.
(2)证明:∵OB=OD=2,
∴OG=2+3=5,GF=2+3=5=OG,
∵在△FDG和△OEG中
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∴△FDG≌△OEG(SAS),
∴∠FDG=∠OEG=90°,
∴∠ODF=90°,
∴OD⊥DF,
∵OD为半径,
∴DF是⊙O的切线.
点评:本题考查了勾股定理,全等三角形的性质和判定,切线的判定的应用,主要考查学生的推理能力和计算能力,用了方程思想.
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