题目内容

【题目】如图1,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C在AE的异侧,BDAE于点D,CEAE于点E

(1)求证:BD=DE+CE;

(2)若直线AE绕点A旋转到图2位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何,请证明;

(3)若直线AE绕点A旋转到图3时(BD>CE),其余条件不变,BD与DE,CE的关系怎样?请直接写出结果,不须证明

【答案】(1)证明见解析;(2)BD=DE+CE;(3)BD=DE+CE

【解析】

试题分析:本题考查了全等三角形的判定和性质,涉及到直角三角形的性质、余角和补角的性质等知识点,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键

(1)根据已知条件易证得BAD=ACE,且根据全等三角形的判定可证明ABD≌△CAE,根据各线段的关系即可得结论

(2)BD=DE+CE根据全等三角形的判定可证明ABD≌△CAE,根据各线段的关系即可得结论

(3)同上理,BD=DE+CE仍成立

试题解析:(1)在ABD和CAE中,

∵∠CAD+BAD=90°BAD+ABD=90°∴∠CAD=ABD

ADB=AEC=90°,AB=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),

BD=AE,AD=CE又AE=AD+DE,AE=DE+CE,即BD=DE+CE

(2)BD=DECE

∵∠BAC=90°∴∠BAD+CAE=90°BDDE,∴∠BAD+ABD=90°

∴∠ABD=CAE又AB=AC,ADB=CEA=90°∴△ADB≌△CEABD=AE,AD=CE

DE=AD+AE,

DE=CE+BD,即 BD=DECE

(3)同理:BD=DECE

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