题目内容
（2012•北塘区一模）已知抛物线的顶点坐标为(| 5 |
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（1）求此抛物线的解析式并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出此时Q点运动的速度和此时t的值．
分析：（1）将抛物线的解析式设为顶点式，再将C点坐标代入该解析式中，即可求得待定系数的值．求解P点坐标时，可过P作y轴的垂线，通过构建的相似三角形求出P点的横、纵坐标．
（2）在（1）中求得P点坐标，以OQ为底、P点纵坐标为高求出关于△OPQ的面积和t的函数关系式，根据所得函数的性质求出△OPQ的面积最大值时，对应的t值；由此能得到AP的长，△OPB和△AOB中，若以BP、AB为底，那么它们的高相同，底的比就是面积的比，由此得解．
（3）此题分两种情况：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一种情况，PQ∥y轴，利用相应的比例线段即可求出t的值；后一种情况可利用勾股定理来进行求解．
（4）若△OPQ为等边三角形，Q点运动速度必须满足OQ等于P点横坐标的2倍（P点在线段OQ的中垂线上），然后根据等边三角形的性质求出对应的t值．
（2）在（1）中求得P点坐标，以OQ为底、P点纵坐标为高求出关于△OPQ的面积和t的函数关系式，根据所得函数的性质求出△OPQ的面积最大值时，对应的t值；由此能得到AP的长，△OPB和△AOB中，若以BP、AB为底，那么它们的高相同，底的比就是面积的比，由此得解．
（3）此题分两种情况：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一种情况，PQ∥y轴，利用相应的比例线段即可求出t的值；后一种情况可利用勾股定理来进行求解．
（4）若△OPQ为等边三角形，Q点运动速度必须满足OQ等于P点横坐标的2倍（P点在线段OQ的中垂线上），然后根据等边三角形的性质求出对应的t值．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-
）2-
，代入点（1，0），得：a=
；
∴y=
（x-
）2-
．
令y=0得：x1=4，x2=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右图，过点P作PM⊥y轴，垂足为点M，则：
=
=
，得：
=
=
∴AM=
t，PM=
t
∴P（
t，3-
t）．
（2）如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
S△OPQ=
OQ•PN=
t•（3-
t）=
t-
t2=-
（t-
）2+
∴当t=
时，S△OPQ最大=
．
此时OP为AB边上的中线
∴S△OBP=
S△AOB=
×
×3×4=3．
（3）若∠OQP=90°，则
=
，
∴
=
，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，则OP2+PQ2=OQ2，
∴（3-
t）2+（
t）2+（3-
t）2+（
t）2=t2
解得：t1=3，t2=15（舍去）．
当t=3时，△OPQ为直角三角形．
（4）∵OP2=（3-
t）2+（
t）2，PQ2=（3-
t）2+（
t）2；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等边三角形．
设Q点的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
∴kt=2•
t，得 k=
∵PN=
OP=
•
t=
t
∴3-
t=
t，得t=
．
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| 3 |
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∴y=
| 3 |
| 4 |
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| 2 |
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令y=0得：x1=4，x2=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右图，过点P作PM⊥y轴，垂足为点M，则：| AM |
| AO |
| PM |
| OB |
| AP |
| AB |
| AM |
| 3 |
| PM |
| 4 |
| t |
| 5 |
∴AM=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴P（
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（2）如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
S△OPQ=
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| 10 |
| 3 |
| 10 |
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∴当t=
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| 8 |
此时OP为AB边上的中线
∴S△OBP=
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（3）若∠OQP=90°，则
| BP |
| AB |
| BQ |
| BO |
∴
| 5-t |
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| 4-t |
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若∠OPQ=90°，则OP2+PQ2=OQ2，
∴（3-
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解得：t1=3，t2=15（舍去）．
当t=3时，△OPQ为直角三角形．
（4）∵OP2=（3-
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∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等边三角形．
设Q点的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
∴kt=2•
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∵PN=
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4
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∴3-
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点评：该题的难度较大，综合了二次函数、直角三角形与等边三角形的判定、图形面积的求法等知识．在解答（3）题时，要注意直角三角形的直角并没有确定，要分类进行讨论．
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