题目内容

如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，-6）两点，与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于C（5，t）、D两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）在直线CD上找出一组相等的线段，并写出推理过程．

解：（1）∵点A（3，0）、（0，-6）在直线y=kx+b上，
∴ $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∴一次函数的解析式为y=2x-6
∵点C（5，t）在直线y=2x-6上，
∴t=2×5-6=4
∴C（5，4），
又∵反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象经过点C，
∴4= $\text{[math]}$ ，
解得m=20．
∴反比例函数的解析式为：y= $\text{[math]}$ ；

（2）AC=BD（也可以AD=BC）
过点C作CE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥y轴于点F
∵点A（3，0）、C（5，4）
∴CE=4，AE=2
∵由 $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴D（-2，-10）
∵B（0，-6）
∴BF=4，DF=2
∴BF=CE，DF=AE
又∵CE⊥x轴，DF⊥y轴
∴∠AEC=∠DFB=90°
在△AEC和△DFB中，
∵ $\text{[math]}$
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴AC=BD．
分析：（1）首先将A、B两点的坐标代如直线的一般形式，利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后将点C的坐标代入求得t值，从而求得反比例函数的解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得直线与双曲线的交点坐标，进而得到BF=CE，DF=AE，然后证得△AEC≌△DFB后即可证得AC=BD．
点评：考查了反比例函数的综合知识，重点考查反比例函数与一次函数的交点问题，此类题目可直接将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．