Question

如图，△ABC中，AB=5，AC=3，cosA=

3

10

．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE∥BC交射线CA于点E．
（1）若CE=x，BD=y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；
（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可利用DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，来求出x、y的函数关系式．
（2）本题要分两种情况：
①两圆外切，根据∠A的余弦值，如果过B作AC的垂线，不难得出△ABC为等腰三角形，因此AB=BC=5（也可用余弦定理求出BC的长）．
那么△ADE也应该是等腰三角形，即AD=DE=5-y．
由于两圆外切，设以BD为直径的圆为⊙O₁，以CE为直径的圆为⊙O₂，那么O₁O₂就是梯形DECB的中位线，根据DE、BC的长即两圆的半径即可求出DE的长．
②两圆内切，此种情况又要分两种情况来求：
一：⊙O₂内切于⊙O₁，那么O₁O₂是两圆的半径差，可根据相似三角形ADE和AO₁O₂来求出DE的长．
二：⊙O₁内切于⊙O₂，同一．
（3）本题也要分三种情况：
①当∠ADE=∠FDE时，由于DE∥BC，那么∠ADE=∠FDE=∠DFB=∠B，即AD=DF=DE=DB，如果连接AF，那么DE必垂直平分AF，因此AF⊥CB，在直角三角形AFC中，由（2）知：∠A=∠C，因此根据AC的长和∠C的余弦值即可求出FC的长进而可求出BF的长．
②当∠DEF=∠B时，此时∠ADE=∠B=∠DEF，因此AB∥EF，四边形BDEF为平行四边形．因此△ADE≌△BDF，因此BF=BD=

1

2

AB，由此可求出BF的长．
③当∠DFE=∠B时，可根据相似三角形对应的腰和底成比例求出BF的长．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴

AD

DB

=

AE

EC

，
∴

5-y

y

=

3-x

x

，
∴y=

5

3

x（x＞0且x≠3）．
（2）作BH⊥AC，垂足为点H．
∵cosA=

3

10

，AB=5，
∴AH=

3

2

=

1

2

AC，
∴BH垂直平分AC．
∴△ABC为等腰三角形，AB=CB=5．
①当点D在BA边上时（两圆外切），如图（1）
易知：O₁O₂∥BC，∴O₁O₂=AO₁，
即

x

2

+

y

2

=5-

y

2

．
∵y=

5

3

x，
∴x=

30

13

．
∵DE∥BC，
∴DE=AD=5-y，
∴DE=-

5

3

x+5．
∴DE=-

5

3

×

30

13

+5=

15

13

；
②当点D在BA延长线上时（两圆内切），如图（2）、（3），
易知O₁O₂∥BC，且O₁O₂=AO₁，
（ⅰ）如图（2），
∵O₁O₂=AO₁，
即

y

2

-

x

2

=5-

y

2

．
∵y=

5

3

x，
∴x=

30

7

．
∵DE∥BC，
∴DE=AD=y-5，
∴DE=

5

3

x-5．
∴DE=

5

3

×

30

7

-5=

15

7

．
（ⅱ）如图（3），
∵O₁O₂=AO₂，
即

y

2

-

x

2

=

y

2

-5，
∴x=10．
∵DE∥BC，
∴DE=AD=y-5，
∴DE=

5

3

x-5．
∴DE=

5

3

×10-5=

35

3

．

（3）①当∠EDF=∠B时，
易得：AD=DE=DF=DB，
∴AF⊥BC，
由cosA=cosC=

3

10

，AC=3，
∴FC=

9

10

，∴BF=

41

10

．
②当∠DEF=∠B时，如图（5）
易得：△DBF≌△EFC，
∴BF=

5

2

．
③当∠DFE=∠B时，如图（6）
∴

AE

AC

=

DE

BC

，
∵AB=5，BC=5，AC=3，
设DE=3k，DF=EF=5k，
∴

3-5k

3

=

3k

5

，
∴k=

15

34

，
∴BF=5-3k=

125

34

．
综上所述：BF的长为：BF=

41

10

，

5

2

，

125

34

．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、圆与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质等知识．