Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA、OC是方程

2

x

=

9-x

10

的两个根（OA＞OC），在AB边上取一点D，将纸片沿CD翻折，使点B恰好落在OA边上的点E处．
（1）求OA、OC的长；
（2）求D、E两点的坐标；
（3）若线段CE上有一动点P自C点沿CE方向向E点匀速运动（点P运动到点E后停止运动），运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作ED的平行线交CD于点M．是否存在这样的t 值，使以C、E、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出t值及相应的时刻点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据OA、OC是方程

2

x

=

9-x

10

的两个根（OA＞OC）即可得出OA、OC的长；
（2）由（1）知OA=5，OC=4，再根据图形翻折变换的性质得出CE=BC=5，∠CED=∠B=90°，DE=BD，Rt△OCE中利用勾股定理即可求出OE的长，进而得出E点坐标，设BD=x，则AD=4-x，DE=x，在Rt△ADE中利用勾股定理求出x的值，故可得出D点坐标；
（3）当CM=ME时，由三角形的中位线定理可得出点P是CE的中点，故可得出M点的坐标及t的值；当CM=CE时，过点M作MF⊥BC于点F，交x轴于点E，先由两点间的距离公式求出CD的长，由相似三角形的判定定理得出△CMF∽△CDB，故可得出MF、CF的长，由此得出M点的坐标，再根据△CPM∽△CED可得出CP的长，进而得出t的值．

解答：解：（1）∵解方程

2

x

=

9-x

10

得，x₁=4，x₂=5，
经检验x₁=4，x₂=5均是原方程的解，
∵OA＞OC，
∴OA=5，OC=4；

（2）∵由（1）知OA=5，OC=4，
∴BC=OA=5，AB=OC=4，
∵△CED由△CBD翻折而成，
∴CE=BC=5，∠CED=∠B=90°，DE=BD，
在Rt△OCE中，
∵OC=4，CE=5，
∴OE=

CE2-OC2

=

52-42

=3，
∴E（3，0）；
∴AE=OA-OE=5-3=2，
设BD=x，则AD=4-x，DE=x，
在Rt△ADE中，DE²=AD²+AE²，即x²=（4-x）²+2²，解得x=

5

2

，
∴AD=4-

5

2

=

3

2

，
∴D（5，

3

2

）；

（3）如图1，当CM=ME时，
∵MP∥DE，∠CED=90°，
∴MP⊥CE，
∴点P是CE的中点，
∴t=PC=

1

2

CE=

1

2

×5=

5

2

；
∴PM是△CED的中位线，
∴M是CD的中点，
∵C（0，4），D（5，

3

2

），
∴M（

5

2

，

11

4

）；
如图2，当CM=CE时，
过点M作MF⊥BC于点F，交x轴于点E，
∵C（0，4），D（5，

3

2

）
∴CD=

52+(4- 3 2 )2

=

5 5

2

，
∵MF⊥BC，AB⊥BC，
∴△CMF∽△CDB，
∴

CM

CD

=

MF

BD

=

CF

BC

，即MF=

CM•BD

CD

=

5× 5 2

5 3 2

=

5 5

3

，CF=

CM•BC

CD

=

5×5

5 5 2

=

10 5

3

，
∴ME=4-MF=4-

5 5

3

，
∴M（

10 5

3

，4-

5 5

3

），
∵PM∥DE，
∴△CPM∽△CED，
∴

CP

CE

=

CM

CD

，即CP=

CE•CM

CD

=

5×5

5 5 2

=

10 5

3

，
∴t=CP=

10 5

3

．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到解分式方程、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及矩形的性质，先根据题意得出OA、OC的长是解答此题的关键．