Question

某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：

x（十万元）	0	1	2
y	1	1.5	1.8

（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）根据题意可求出y与x的二次函数关系式．
（2）根据题意可知S=（3-2）×100y÷10-x=-x²+5x+10；
（3）根据解析式求最值即可．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax²+bx+c，
由题意得：

c=1 a+b+c=1.5 4a+2b+c=1.8

，
解得：

a=-0.1 b=0.6 c=1

，
∴y与x的函数关系式为：y=-0.1x²+0.6x+1；

（2）∵利润=销售总额减去成本费和广告费，
∴S=（3-2）×100y÷10-x=-x²+5x+10；

（3）S=-x²+5x+10=-（x-2.5）²+16.25，
当x=2.5时，函数有最大值．所以x＜2.5是函数的递增区间，
由于1≤x≤3，所以1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
∴x=2.5时利润最大，最大利润为16.25（十万元）．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．要学会用二次函数解决实际问题．