题目内容
【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=
CG2；③若AF=2FD，则BG=6GF,其中正确的有____________.（填序号）
【答案】①②③
【解析】
对于①，先证明△ABD为等边三角形，再根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
②，先证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，再证明△CBM≌△CDN，所以S 四边形BCDG=S 四边形CMGN，求后者的面积即得答案；
③，过点F作FP∥AE于P点，根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴AB=AD=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB，故①正确；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，则CM=CN.
∴Rt△CBM≌Rt△CDN（HL），
∴S 四边形BCDG=S 四边形CMGN，S 四边形CMGN=2S △CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM= 
CG，CM= 
CG，
∴S 四边形CMGN=2S △CMG=2××GM×CM=2××CG× CG= 
CG 2，故②正确；
③如图，过点F作FP∥AE于P点．
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即BG=6GF，故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
