题目内容
数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得OB=OD，又由OM⊥BC，易证得OM∥DC，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式；
（2）作OM∥CD交BC于点M，利用（1）中的方法，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于点N，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式．
（2）作OM∥CD交BC于点M，利用（1）中的方法，即可求得y关于x的函数解析式；
（3）首先作ON∥CD交BC于点N，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式．
解答：
解：（1）如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=
DC=
，CM=
BC=
．
∵OM∥DC，
∴
=
，
即
=
，
解得y=
．定义域为x＞0．
（2）y=
（x＞0）．
（3）如右图：
AD∥BC，
=
=
，
=
．
过点O作ON∥CD，交BC于点N，
∴
=
，
∴ON=
．
∵ON∥CD，
=
=
，
∴
=
，
∴CN=
．
∵ON∥CD，
∴
=
，即
=
．
∴y关于x的函数解析式为y=
（x＞0）．
解：（1）如图：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵OM∥DC，
∴
| CF |
| OM |
| CE |
| EM |
即
| y | ||
|
| x | ||
x+
|
解得y=
| x |
| 2x+1 |
（2）y=
| 2x |
| 2x+3 |
（3）如右图：
AD∥BC，
| BO |
| OD |
| BC |
| AD |
| a |
| c |
| BO |
| BD |
| a |
| a+c |
过点O作ON∥CD，交BC于点N，
∴
| ON |
| DC |
| BO |
| BD |
∴ON=
| ab |
| a+c |
∵ON∥CD，
| CN |
| BN |
| OD |
| BO |
| c |
| a |
∴
| CN |
| BC |
| c |
| a+c |
∴CN=
| ac |
| a+c |
∵ON∥CD，
∴
| CF |
| ON |
| CE |
| EN |
| y | ||
|
| x | ||
x+
|
∴y关于x的函数解析式为y=
| abx |
| (a+c)x+ac |
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题的图形变化比较多，难度较大，解题的关键是注意识图，准确应用数形结合思想解题．
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