Question

数学课上，张老师出示了问题：如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB⊥BF，点P为BC上任意一点，且AP⊥PF，请问：AP与PF相等吗？请说明理由．
如果把“点P是边BC上任意一点”改为“点P是边CB上（除B，C外）延长线上的任意一点”，其它条件不变，那么结论还成立吗？如果正确，请画出图形，写出证明过程．

Answer 1

分析：（1）作FO⊥CB延长线于O点．则∠FBO=45度，BO=FO．由AP⊥PF，很容易知道∠CAP=∠OPF（同角的余角相等），从而△ACP相似于△POF，故可知

AC

CP

=

PO

FO

，其中PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，代入可知FO=CP；从而AC=PO．进一步知道△ACP全等于△POF，AP=PF．（2）同样相等，证明方法同上，先证明△ACP相似于△POF，再证明△ACP全等于△POF即可．

解答：解：（1）
如图作FO⊥CB延长线于O点．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵AB⊥BF，
∴∠FBO=45°，
∴BO=FO，
又∵AP⊥PF，
∴∠CAP=∠OPF（同角的余角相等），
∴△ACP∽△POF，
∴

AC

CP

=

PO

FO

，
∵PO=PB+BO=PB+FO，AC=BC=PB+PC，
∴FO=CP
∴AC=PO．
在△ACP和△POF中，

AC=PO ∠C=∠FOP=90° CP=FO

，
∴△ACP≌△POF（SAS），
∴AP=PF．

（2）如果“点P是边BC上任意一点”改为“点P是边CB上（除B，C外）延长线上的任意一点”，如图

同（1）题可证△ACP∽△POF，
∴

AC

CP

=

PO

FO

，
∵PO=BO-BP=FO-BP，AC=BC=CP-BP，
∴FO=CP
∴AC=PO．
在△ACP和△POF中

AC=PO ∠C=∠FOP=90° CP=FO

∴△ACP≌△POF（SAS），
∴AP=PF．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等的关键是作辅助线．