题目内容
【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD= ,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF,BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值;
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P.与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:在Rt△ABD中,AB=5,AD= ,
由勾股定理得:BD= =
=
.
∵S△ABD= BDAE=
ABAD,
∴AE= =
=4.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
由勾股定理得:BE=3
(2)
解:设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:
由对称点性质可知,∠1=∠2.
由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①当点F′落在AB上时,
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②当点F′落在AD上时,
∵AB∥A′B′,
∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,
又易知A′B′⊥AD,
∴△B′F′D为等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
∴BB′=BD﹣B′D= ﹣3=
,即m=
(3)
解:存在.理由如下:
在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:
①如答图3﹣1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,易知∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ= =
=3
.
∴DQ=BQ﹣BD=3 ﹣
;
②如答图3﹣2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,易知∠2=∠P,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠P,
∴BA′∥PD,则此时点A′落在BC边上.
∵∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,
∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:BF′2+F′Q2=BQ2,
即:32+(4﹣BQ)2=BQ2,
解得:BQ= ,
∴DQ=BD﹣BQ= ﹣
=
;
③如答图3﹣3所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,易知∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,
∴∠4=90°﹣ ∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠4=90°﹣ ∠1.
∴∠A′QB=∠4=90°﹣ ∠1,
∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣ ∠1,
∴∠A′QB=∠A′BQ,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ= =
=
,
∴DQ=BD﹣BQ= ﹣
;
④如答图3﹣4所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,易知∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=5,
∴DQ=BD﹣BQ= ﹣5=
.
综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使△DPQ为等腰三角形;
DQ的长度分别为3 ﹣
或
或
﹣
或
【解析】(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;(2)依题意画出图形,如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;(3)在旋转过程中,等腰△DPQ有4种情形,如答图3所示,对于各种情形分别进行计算.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题.

【题目】如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮一次,投中的概率约为(精确到0.1).
投篮次数(n) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 |
投中次数(m) | 28 | 60 | 78 | 104 | 123 | 152 | 251 |
投中频率(m/n) | 0.56 | 0.60 | 0.52 | 0.52 | 0.49 | 0.51 | 0.50 |