Question

将一个宽为2cm的长方形纸条折叠，折痕为AC，重叠部分为△ABC（如图）．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠ABC=30°，求△ABC的面积；
（3）若△ABC的面积为2cm²，试画出大致的图形，并求∠BAC的度数．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质得到∠1=∠BAC，而∠1=∠2，则∠2=∠BAC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）过A作AD⊥BC于D，则AD=2cm，而∠ABC=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AB=2AD=4cm，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）通过面积为2得到BA=BC=2cm，则AB⊥BC，即可得到∠BAC的度数．

解答：（1）证明：如图，
∵纸条为长方形，
∴∠1=∠2，
又∵长方形纸条折叠，折痕为AC，重叠部分为△ABC，
∴∠1=∠BAC，
∴∠2=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：过A作AD⊥BC于D，如图，
则AD=2cm，
∵∠ABC=30°，
∴AB=2AD=4cm，
∴BC=AB=4cm，
∴△ABC的面积=

1

2

AD•BC=

1

2

×4×2=4（cm²）；

（3）解：如图，
∵△ABC的面积为2cm²，
而高总等于纸条宽2cm，
∴BC=2cm，
∴BA=BC=2cm，
∴AB为纸条宽，
∴AB⊥BC，
∴∠BAC=45°．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的判定定理以及含30°的直角三角形三边的关系．