Question

若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C
（1）填空：写出A、C两点的坐标，A

 

，C

 

；
（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；
（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．

Answer 1

分析：（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；
（2）由直线y=mx+8得B（-

8

m

，0），即OB=

8

m

，而AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；
（3）根据（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标．

解答：解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），
故答案为：（0，8），（0，3）；

（2）令直线y=mx+8中y=0，得B（-

8

m

，0），即OB=

8

m

，
又AO=8，
∴AB=

OB2+OA2

=8

1+ 1 m2

，
∵∠ABO=2∠CBO，
∴

AB

BO

=

AC

OC

，即24

1+ 1 m2

=5×

8

m

，
解得m=

4

3

，
又由y=nx+3经过点B，得-

3

n

=-

8

m

，解得n=

1

2

，
∴直线AB：y=

4

3

x+8，直线CB：y=

1

2

x+3；

（3）由（2）可知OB=6，AB=

OB2+OA2

=10，
当△ABE为等腰三角形时，
直线BE的解析式为：y=3x+18或y=-

1

3

x-2或y=-

4

3

x-8或y=

7

24

x+

7

4

．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据题意求出点的坐标，根据图形的特殊性利用比例，勾股定理求一次函数解析式．