题目内容
【题目】我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离,即|x|=|x﹣0|,也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广为:|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离;在解题中,我们常常运用绝对值的几何意义.
①解方程|x|=2,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为x=±2.
②在方程|x﹣1|=2中,x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数,显然x=3或x=﹣1.
③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中,显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值,在数轴上1和﹣2的距离为3,满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边.若x的对应点在1的右边,由图示可知,x=2;同理,若x的对应点在﹣2的左边,可得x=﹣3,所以原方程的解是x=2或x=﹣3.根据上面的阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x|=5的解是_______________.
(2)方程|x﹣2|=3的解是_________________.
(3)画出图示,解方程|x﹣3|+|x+2|=9.
【答案】(1)x=5或-5 ;(2)x=5或-1;(3)x=5或-4.
【解析】试题分析:
(1)由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离,所以x=±5;
(2)由于|x-2|=3中,x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数,显然x=5或-1;
(3)方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值,在数轴上3和-2的距离为5,满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边,画图即可解答.
试题解析:(1)∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5,
∴方程|x|=5的解为x=±5;
(2)∵在方程|x-2|=3中,x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数,
∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1;
(3)∵在数轴上3和-2的距离为5,5<9,
∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边.
若x的对应点在3的右边,由图示可知,x=5;
若x的对应点在-2的左边,由图示可知,x=-4,
所以原方程的解是x=5或x=-4.