Question

已知二次函数y＝x²＋ax＋a－2．

(1)求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

(2)设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式．

(3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)因为△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 　　所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点　　(2分) 　　(2)设x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的两个根，则x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，因两交点的距离是，所以　　(4分) 　　即：(x1－x2)2＝13 　　变形为：(x1＋x2)2－4x1·x2＝13　　(5分) 　　所以：(－a)2－4(a－2)＝13 　　整理得：(a－5)(a＋1)＝0 　　解方程得：a＝5或－1 　　又因为：a＜0 　　所以：a＝－1 　　所以：此二次函数的解析式为y＝x2―x―3　　(6分) 　　(3)设点P的坐标为(x0，y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB＝　　(8分) 　　所以：S△PAB＝ 　　所以： 　　即：|y0|＝3，则　　(10分) 　　当y0＝3时，，即(x0－3)(x0＋2)＝0 　　解此方程得：x0＝－2或3 　　当y0＝－3时，，即x0(x0－1)＝0 　　解此方程得：x0＝0或1　　(11分) 　　综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)　　(12分)