Question

【题目】（1）在中，，是平面内任意一点，将线段绕点顺时针旋转与相等的角度，得到线段，连接.

①如图①，若是线段上的一点，且，，则的大小 （度），的长 ；

②如图②，点是延长线上的一点，若是内部射线上任意一点，连接，与的数量关系是什么？与的数量关系是什么？并分别给予证明：

（2）如图③，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，求线段长度的最小值（直接写出结果即可）.

Answer 1

【答案】（1）①， 2；②，；证明见解析；（2）

【解析】

（1）①根据旋转的性质可得∠NAM=∠BAC，AN=AM，然后可得∠NAB=∠MAC=20°，再利用SAS证明即可得到NB=MC=2；

②同①证明即可；

（2）如图③，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M，利用全等三角形的判定和性质证明B1Q＝PN，推出当PN的值最小时， B1Q的值最小，解直角三角形求出NH的值即可解决问题．

解：（1）①由题意可得：∠NAM=∠BAC，

∴∠NAM－∠BAM =∠BAC－∠BAM，即∠NAB=∠MAC=20°，

又∵AN=AM，AB=AC，

∴，

∴NB=MC=2，

故答案为：20，2；

②，；

证明：将线段绕点顺时针旋转与相等的角度，得到线段，

，

∴∠NAM－∠BAM =∠BAC－∠BAM，

，

在和中，，

，

；

（2）如图③，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．

∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，

∴∠QA1B1＝∠PA1N，

∵A1Q＝A1P，A1B1＝A1N，

∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），

∴B1Q＝PN，

∴当PN的值最小时， B1Q的值最小，

在Rt△A1B1M中，

∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，

∴A1M＝A1B1sin60°＝，

∵∠MA1C1＝∠B1A1C1∠B1A1M＝75°30°＝45°，

∴A1C1＝，

∴NC1＝A1C1A1N＝，

在Rt△NHC1，

∵∠C1＝45°，

∴NH＝，

根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，

∴B1Q的最小值为．