题目内容
【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
(3)将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数)图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G,若与直线y=x+2有三个交点,请直接写出m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;
(2)把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
(3)当<m<时,新图象为G,与直线y=x+2有三个交点.
【解析】试题分析:(1)求出根的判别式,即可得出答案;
(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可;
(3)设翻折后所得图象的解析式y=﹣(x﹣m)2+3,当
试题解析:
(1)证明:∵△=(﹣2m)2﹣4×1×(m2+3)=4m2﹣4m2﹣12=﹣12<0,
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)解:y=x2﹣2mx+m2+3=(x﹣m)2+3,
把函数y=(x﹣m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x﹣m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
所以,把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
(3)翻折后所得图象的解析式y=﹣(x﹣m)2+3,
①当直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+3有一个交点时,则,
整理得,x2﹣(2m+1)x+m2+1=0
∴△=(2m+1)2﹣4(m2+1)=0,即m=.
②当直线y=x+2与抛物线y=﹣(x﹣m)2+3有一个交点时,则,
整理得,x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0,
∴△=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)=0,即m=.
∴当<m<时,新图象为G,与直线y=x+2有三个交点.