题目内容

【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3m是常数).

1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;

2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?

3)将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3m是常数)图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G,若与直线y=x+2有三个交点,请直接写出m的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;

(2)把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.

(3)当<m<时,新图象为G,与直线y=x+2有三个交点.

【解析】试题分析:(1)求出根的判别式,即可得出答案;
(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可;

(3)设翻折后所得图象的解析式y=﹣x﹣m2+3

试题解析:

1)证明:∵△=﹣2m2﹣4×1×m2+3=4m2﹣4m2﹣12=﹣120

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解,

即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;

2)解:y=x2﹣2mx+m2+3=x﹣m2+3

把函数y=x﹣m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=x﹣m2的图象,它的顶点坐标是(m0),

因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,

所以,把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.

3)翻折后所得图象的解析式y=﹣x﹣m2+3

①当直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+3有一个交点时,则

整理得,x22m+1x+m2+1=0

∴△=2m+12﹣4m2+1=0,即m=

②当直线y=x+2与抛物线y=﹣x﹣m2+3有一个交点时,则

整理得,x22m﹣1x+m2﹣1=0

∴△=2m﹣12﹣4m2﹣1=0,即m=

∴当m时,新图象为G,与直线y=x+2有三个交点.

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