题目内容

已知反比例函数y=
k
x
图象过第二象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3，若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=
k
x
的图象上另一点C（n，-
3
2
）．
（1）求反比例函数和直线解析式
﹙2）求△AOC的面积．
（3）求不等式ax+b-
k
x
＞0的解集（请直接写出答案）
（4）在x轴上是否存在一点P，以AO为腰使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）先根据反比例函数的图象在二、四象限判断出k的符号，再由Rt△AOB面积为3即可得出k的值，进而得出反比例函数的解析式；由A、C两点均在反比例函数的图象上求出m、n的值，故可得出A、C两点的坐标，把A、C两点的坐标代入直线y=ax+b即可得出a、b的值，进而得出直线的解析式；
（2）由直线AC的解析式得出M点的坐标，根据S△AOC=S△AOM+S△COM即可得出结论；
（3）把原不等式化为ax+b＞
k
x
的形式，由AC两点的坐标可直接得出不等式的解集；
（4）设P点坐标为（x，0），利用两点间的距离公式即可得出x的值，进而得出结论．
解答：解：（1）∵反比例函数y=
k
x
图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵Rt△AOB面积为3，
∴k=-6，
∴反比例函数的解析式为：y=-
6
x
；
∵A、C两点均在反比例函数的图象上，
∴（-2）×m=-6，（-
3
2
）×n=-6，解得m=3，n=4，
∴A（-2，3），C（4，-
3
2
），
∵A、C两点均在一次函数y=ax+b的图象上，
∴
-2a+b=3
4a+b=-
3
2
，
解得
a=-
3
4
b=
3
2
．
∴直线的解析式为：y=-
3
4
x+
3
2
；

（2）∵当y=0时，-
3
4
x+
3
2
=0，
解得x=2，
∴点M的坐标为（2，0），
∴OM=2，
∵A（-2，3），C（4，-
3
2
），
S△AOC=S△AOM+S△COM
=
1
2
×2×3+
1
2
×2×
3
2

=3+
3
2

=4.5；

（3）原不等式化为ax+b＞
k
x
的形式，
∵A（-2，3），C（4，-
3
2
），
∴由函数图象可知，当x＜-2或0＜x＜4时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当x＜-2或0＜x＜4时，ax+b-
k
x
＞0；

（4）设P（x，0），
当OA=OP时，
(-2)2+32
=|x|，解得x=±
13
，
此时P（
13
，0）或（-
13
，0）；
当OA=AP时，
(-2)2+32
=
(-2-x)2+32
，解得x=-4或x=0（舍去），
故此时P（-4，0）．
综上所述P1（
13
，0），P2（-
13
，0），P3（-4，0）．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意得出A、C的坐标是解答此题的关键．
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k
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的图象上另一点C（n，-
3
2
），
（1）反比例函数的解析式为
 
，m=
 
，n=
 
；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．
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．
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k
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1
2
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kx
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y1＜y2
y1＜y2
．

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