Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求证：OF∥BC；

（2）求证：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；（3）；阴影部分的面积是：cm2．

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；

（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形全等；

（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC

又∵OF⊥AC

∴OF∥BC

（2）证明：∵AB⊥CD

∴

∴∠CAB=∠BCD

又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，

∴△AFO≌△CEB

（3）连接DO．设OE=x，

∵AB⊥CD

∴CE=CD=5cm．

在△OCB中，OC=OB=x+5（cm），

根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2

解得：x=5，即OE=5cm，

∴tan∠COE=，

∴∠COE=60°

∴∠COD=120°，

∴扇形COD的面积是：cm2

△COD的面积是：CDOE=×10×5=25cm2

∴阴影部分的面积是：（）cm2．