题目内容

如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.

解:连接UV,
∵正方形ABCD,
∴AB∥CD,
根据等底等高的三角形的面积相等得到:S△APD=S△UVP,S△QUV=S△BQC
∴S四边形PUQV=S△APD+S△BQC
过P做PE⊥AD于E,过Q做QF⊥BC于F,
设:PE=x,QF=y,
∴S四边形PUQV=(x+y),
设AU=a,DV=b,
+=DE+AE=1,
故x=
同理y==
∴S四边形PUQV=[+],
=
===(因为(a-b)2≥0)2+b,
等号当且仅当a=b时成立,
故四边形PUQV面积最大值是
分析:连接UV,根据等底等高的三角形的面积相等,推出S四边形PUQV=S△APD+S△BQC,再利用面积公式求出面积,进一步根据不等式的性质即可求出四边形PUQV面积的最大值.
点评:本题主要考查了面积及等积变换,三角形的面积不等式的性质等知识点,解此题的关键是利用不等式的性质求最大值,此题难度较大.
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