题目内容

(1997•山东)如图,ABCD是一个正方形,P、Q是正方形外两点,且△APD和△BCQ是等边三角形,则∠PQD的正切值是(  )
分析:连结AQ,通过证明△ABQ≌△DCQ,就可以得出PQ是AD的中垂线,可以得出PQ是BC的中垂线,就可以表示出QE的值,CE的值,就可以求出∠PQD的正切值.
解答:解:连结AQ,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,AD∥BC.
∴∠AFQ=∠BEQ.
∵△APD和△BCQ是等边三角形,
∴PD=PA=AD,BQ=CQ=BC,∠BCQ=∠CBQ=60°,
∴∠DCB+∠BCQ=∠ABC+∠CBQ,
∴∠DCQ=∠ABQ.
∵在△DCQ和△ABQ中,
DC=AB
∠DCQ=∠ABQ
CQ=BQ

∴△DCQ≌△ABQ(SAS),
∴DQ=AQ.
∵DQ=AP,
∴PQ是AD的中垂线,
∴∠AFQ=∠AFP=90°,DF=
1
2
AD,
∴∠BEQ=90°,
∴CE=
1
2
BC.
设BC=a,则CE=DF=
1
2
a,EF=a,在Rt△QEC中,由勾股定理,得
QE=
3
2
a,
∴FQ=a+
3
2
a,
∴tan∠PQD=
1
2
a
a+
3
2
a
=2-
3

故选A.
点评:本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,锐角三角函数的运用.解答时作出辅助线证明三角形全等是关键.
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