Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上．
（1）若∠D=∠C=30°，求证：BD是⊙O的切线．
（2）点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，分别过B、F两点作DC的垂线，垂足分别为M、N，且CN：CM=2：3．若△ABC的面积为12cm²，cos∠EFC=

2

3

，求△BFE的面积．

Answer 1

分析：（1）由OB=OC，得∠OBC=∠C=30°，而∠DBC=180°-∠D-∠C=180°-30°-30°=120°，则有∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，即可得到结论；
（2）由BM⊥AC，FN⊥AC，可得S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，FN∥BM，则△CFN∽△CBN，得到FN：BM=CN：CM，而CN：CM=2：3，△ABC的面积为12cm²，于是有S_△FAC：12=FN：BM=2：3，可计算出S_△FAC=8，由∠E=∠C，∠FBE=∠CAF可得△FBE∽△FAC，根据相似三角形的性质得到

S△FBE

S△FAC

=（

FB

FA

）²；由AC为⊙O的直径得到∠ABF=90°，而cos∠BFA=cos∠EFC=

2

3

，在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=

FB

FA

=

2

3

，利用

S△FBE

S△FAC

=（

FB

FA

）²；即可计算出△BFE的面积．

解答：（1）证明：如图，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
而∠DBC=180°-∠D-∠C=180°-30°-30°=120°，
∴∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵BM⊥AC，FN⊥AC，
∴S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，FN∥BM，
∴△CFN∽△CBN，
∴FN：BM=CN：CM，
而CN：CM=2：3，△ABC的面积为12cm²，
∴S_△FAC：12=FN：BM=2：3，
∴S_△FAC=8，
∵∠E=∠C，∠FBE=∠CAF，
∴△FBE∽△FAC，
∴

S△FBE

S△FAC

=（

FB

FA

）²，
又∵cos∠EFC=

2

3

，
∴cos∠BFA=

2

3

，
而AC为⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=

FB

FA

=

2

3

，
∴

S△FBE

S△FAC

=（

FB

FA

）²，=（

2

3

）²，
∴S_△BFE=

4

9

×8=

32

9

．

点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；运用相似三角形的判定与性质得到线段和三角形面积的比例关系；同底等高的三角形的面积相等．