题目内容
【题目】如图,抛物线经过B(﹣1,0),D(﹣2,5)两点,与x轴另一交点为A,点H是线段AB上一动点,过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q,P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使∠APB=90°,若存在,求出点P的横坐标,若不存在,说明理由;
(3)连接BQ,一动点M从点B出发,沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止,当点Q的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时t最少?
【答案】(1);(2)或;(3)Q(﹣1,4).
【解析】试题分析:(1)把B(﹣1,0),D(﹣2,5)代入,得出关于b、c的二元一次方程组,即可求出抛物线的解析式;
(2)根据抛物线解析式求出OA,设P(m,m2﹣2m﹣3),则﹣1≤m≤3,PH=﹣(m2﹣2m﹣3),BH=1+m,AH=3﹣m,证明△AHP∽△PHB,得出PH2=BHAH,由此得出方程[﹣(m2﹣2m﹣3)]2=(1+m)(3﹣m),解方程即可;
(3)由题意,动点M运动的路径为折线BQ+QD,运动时间:t=BQ+DQ,如备用图,作辅助线,将BQ+DQ转化为BQ+QG;再由垂线段最短,得到垂线段BH与直线AD的交点即为所求的Q点.
试题解析:解:(1)把B(﹣1,0),D(﹣2,5)代入,得: ,解得: ,∴抛物线的解析式为: ;
(2)存在点P,使∠APB=90°.当y=0时,即x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴OB=1,OA=3.
设P(m,m2﹣2m﹣3),则﹣1≤m≤3,PH=﹣(m2﹣2m﹣3),BH=1+m,AH=3﹣m,∵∠APB=90°,PH⊥AB,∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH,∠AHP=∠PHB,∴△AHP∽△PHB,∴ ,∴PH2=BHAH,∴[﹣(m2﹣2m﹣3)]2=(1+m)(3﹣m),解得m1=,m2=,∴点P的横坐标为: 或;
(3)如图,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=5,ON=2,AN=3+2=5,∴tan∠DAB==1,∴∠DAB=45°.过点D作DK∥x轴,则∠KDQ=∠DAB=45°,DQ=QG.
由题意,动点M运动的路径为折线BQ+QD,运动时间:t=BQ+DQ,∴t=BQ+QG,即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值.
由垂线段最短可知,折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.
过点B作BH⊥DK于点H,则t最小=BH,BH与直线AD的交点,即为所求之Q点.
∵A(3,0),D(﹣2,5),∴直线AD的解析式为:y=﹣x+3,∵B点横坐标为﹣1,∴y=1+3=4,∴Q(﹣1,4).