Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
（1）请在横线上直接写出抛物线C₂的解析式：

 

；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）两抛物线关于y轴对称，它们的开口方向和大小都相同（即二次项系数a相同），与y轴的交点也相同（即常数项c相同），不同的只是对称轴方程，可据此求解；
（2）由于两个抛物线关于y轴对称，根据轴对称的性质可判断出△ACB是等腰三角形；当m=1时，可过A作C₁的对称轴AD，过C作AD的垂线，设垂足为E，利用A、C的坐标，求得AE、CE的长，从而证得∠ACE=45°，进而求出∠ACy=∠BCy=45°，即△ACB是等腰直角三角形；
（3）若四边形ABCP是菱形，且P在C₁上，那么C、P必关于AD对称，即CP经过E点；若四边形ABCP是菱形，则有：AB=BC，此时△ABC是等边三角形，那么∠ACy=∠BCy=30°，故∠ACE=60°；可仿照（2）的解题方法，表示出A、C的坐标，进而得到AE、CE的长，以∠ACE的正切值作为等量关系即可求得m的值．

解答：解：（1）y=-x²-2mx+n；

（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形，
理由如下：如图：
∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC，过点A作抛物线C₁的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E．
∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），
∴CE=1；
又∵点C的坐标为（0，n），
∴AE=1+n-n=1，
∴AE=CE；
从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°，
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（3）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC，
从而△ABC为等边三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30°．
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C₁上，
∴点P与点C关于AD对称，
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

|m|

=

3

．
∴|m|=

3

，∴m=±

3

．
故抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m=±

3

．

点评：此题考查了二次函数图象的几何变化，等腰直角三角形、等边三角形以及菱形的判定，充分利用轴对称的性质以及点的坐标特征是解答此题的关键．