Question

（2000•天津）已知；如图，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D．
求证：
（1）∠APD=∠BPD；
（2）PA•PB=PC²+AC•CB．

Answer 1

【答案】分析：（1）过P作两圆的公切线MN．根据弦切角定理和三角形的外角的性质进行证明；
（2）连接AD．根据两个角对应相等，得到△PDA∽△PBC，从而得到PA•PB=PD•PC；再进一步结合代数式的变形和相交弦定理进行转换证明．
解答：证明：（1）过P作两圆的公切线MN．
∵MN与AB均为小圆切线，
∴∠NPC=∠BCP．
∵∠NPC=∠NPB+∠BPC，∠BCP=∠PAC+∠APC，
而∠NPB=∠PAB=∠PAC，
∴∠NPC-∠BCP=∠NPB+∠BPC-∠PAC-∠APC，
∴∠BPC=∠APC，即∠BPD=∠APD．

（2）连接AD．
在△PDA和△PBC中，由（l）可知∠DPA=∠BPC，
又∵∠ADP=∠CBP，
∴△PDA∽△PBC．
∴=．
即PA•PB=PD•PC．
∵PD•PC=（PC+CD）•PC=PC2+PC•CD，
又∵PC•CD=AC•BC，
∴PC•PD=PC²+AC•BC，
∴PA•PB=PC²+AC•BC．
点评：作两圆的公切线是两圆相切时常见的辅助线．综合运用了弦切角定理、三角形的外角的性质、相似三角形的判定和性质以及相交弦定理．注意数形结合的思想，能够熟练对代数式进行变形．