题目内容
【题目】如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB于点O,点D、E分别在边AC、BC上,且AD=CE,连结DE交CO于点P,给出以下结论:
①△DOE是等腰直角三角形;②∠CDE=∠COE;③若AC=1,则四边形CEOD的面积为;④
,其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③④.
【解析】
试题分析:①正确.如图,∵∠ACB=90°,AC=BC,CO⊥AB
∴AO=OB=OC,∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°,在△ADO和△CEO中,∵OA=OC,∠A=∠ECO,AD=CE,∴△ADO≌△CEO,∴DO=OE,∠AOD=∠COE,∴∠AOC=∠DOE=90°,∴△DOE是等腰直角三角形.故①正确.
②正确.∵∠DCE+∠DOE=180°,∴D、C、E、O四点共圆,∴∠CDE=∠COE,故②正确.
③正确.∵AC=BC=1,∴S△ABC=×1×1=
,S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=
S△ABC=
,故③正确.
④正确.∵D、C、E、O四点共圆,∴OPPC=DPPE,∴+2DPPE=
+2OPPC=2OP(OP+PC)=2OPOC,∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°,∠POE=∠COE,∴△OPE∽△OEC,∴
,∴OPOC=
,∴
+2DPPE=
=
=
,∵CD=BE,CE=AD,∴
,∴
.
故④正确.

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