题目内容
（1）画图探究：
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：
如图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．
分析：（1）作出A点关于m的对称点A′，连接A′B即可得出P点位置；
（2）连接CE，交AD于点P，此时BP+PE最小，再利用等边三角形的性质得出即可；
（3）分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；再利用三角形内角和定理得出即可．
（2）连接CE，交AD于点P，此时BP+PE最小，再利用等边三角形的性质得出即可；
（3）分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；再利用三角形内角和定理得出即可．
解答：
解：（1）如图1所示：P点即为所求；
（2）如图2，连接EC，交AD于点P，
此时BP+PE最小，
∵等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴BE=1，BC=2，
∴EC=
，
∴BP+PE的最小值为：
；
（3）如图3：
分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；
∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
∴∠MAN=125°-55°=70°．
解：（1）如图1所示：P点即为所求；（2）如图2，连接EC，交AD于点P，
此时BP+PE最小，
∵等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴BE=1，BC=2，
∴EC=
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∴BP+PE的最小值为：
| 3 |
（3）如图3：
分别作出点A关于CD，BC的对称点E，F，连接EF分别交CD、BC于点M、N此时△AMN周长最小；
∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
∴∠MAN=125°-55°=70°．
点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及等边三角形的性质和勾股定理以及三角形内角和定理等知识，利用轴对称得出关键点位置是解题关键．
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夺冠金卷全能练考系列答案
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