题目内容
阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是
| 1 | 5 |
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）取n=3，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为
（2）在图4中探究，n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为
（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为
（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
分析：（1）查出旋转后的正方形的个数是10，中间四边形中正方形的个数是4，然后计算即可求解；
（2）根据四等分点再找出其它的等分点，仿照图3的作法画出图形，然后再查出旋转后的正方形的个数是17，中间四边形中正方形的个数是9，然后计算即可求解；
（3）根据前四个图形的数据规律，分子是序数减1，再平方，分母是序数的平方再加上1，写出即可；
（4）根据面积是10，所以拼接后的正方形的边长是
，然后根据网格的特点进行剪接．
（2）根据四等分点再找出其它的等分点，仿照图3的作法画出图形，然后再查出旋转后的正方形的个数是17，中间四边形中正方形的个数是9，然后计算即可求解；
（3）根据前四个图形的数据规律，分子是序数减1，再平方，分母是序数的平方再加上1，写出即可；
（4）根据面积是10，所以拼接后的正方形的边长是
| 10 |
解答：解：
（1）正方形ABCD的面积是10个小正方形，四边形MNPQ是4个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
=
；（2分）
（2）如图1．（3分）
正方形ABCD的面积是17个小正方形，四边形MNPQ是9个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
；（5分）
（3）正方形ABCD的面积是n2+1个小正方形，四边形MNPQ是（n-1）2个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
；（7分）
（4）如图2．（8分）
设每个小正方形的面积是1，图形面积是10，
所以拼接后的正方形的边长是
，
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）
（1）正方形ABCD的面积是10个小正方形，四边形MNPQ是4个小正方形，∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
| 4 |
| 10 |
| 2 |
| 5 |
（2）如图1．（3分）
正方形ABCD的面积是17个小正方形，四边形MNPQ是9个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
| 9 |
| 17 |
（3）正方形ABCD的面积是n2+1个小正方形，四边形MNPQ是（n-1）2个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
| (n-1)2 |
| n2+1 |
（4）如图2．（8分）
设每个小正方形的面积是1，图形面积是10，
所以拼接后的正方形的边长是
| 10 |
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）
点评：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，以及设计作图，难度不大，读懂题目提供的信息是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
