题目内容

如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．
（1）点C坐标是，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）

解：（1）C（3，4），D（9，4）；

（2）易知：OB=AB=10；
∵C点坐标为（3，4），
∴点C到x轴的距离为4
①当点D在线段OA上，即0＜t≤6时，OD=2t；
则：S= $\text{[math]}$ OD×4= $\text{[math]}$ ×2t×4=4t；
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，BD=OA+AB-2t=22-2t；
过D作DM⊥OB于M，过点A作AN⊥OB于N；
则△BMD∽△BNA，得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
易知S_△OAB=48；
∵S_△ODB：S_△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S_△OBD=S_△OAB• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S_△BCD，即S= $\text{[math]}$ S_△OBD= $\text{[math]}$ （11-t）=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ；
③当D在线段OB上时，O、C、D三点共线，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上可知：当t=6时，S最大，且S_max=24；

（3）当0≤t≤5s时，D在线段OA上运动，E在线段AB上运动；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①当△OCD∽△ADE时， $\text{[math]}$ =1，∴OC=AD，即12-2t=5，t= $\text{[math]}$ ；
②当△OCD∽△AED时， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得t= $\text{[math]}$ ；
综上所述，当t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，两个三角形相似．
分析：（1）点C的坐标易求得；当点D运动8.5s时，D点运动的总路程为8.5×2=17，那么此时点D运动到线段AB上，且AD=5；根据AB的坐标易知AB=10，那么此时点D是AB的中点，即可求得点D的坐标；
（2）①当D在线段OA上，即0＜t≤6时，以OD为底，C点纵坐标的绝对值为高即可得到△OCD的面积，也就求得了此时y、x的函数关系式；
②当D在线段AB上，即6≤t＜11时，由于△BCD和△OCD等底同高，所以△OCD的面积是△OBD的一半，只需求出△OBD的面积即可；△OBD和△OAB等底，那么面积比等于高的比，分别过D、A作OB的垂线，设垂足为M、N；易证得△BDM∽△BAN，那么两条高的比即为BD、BA的比，易求得△ABO的面积由此得解；
③当D在线段OB上时，O、A、D三点共线，构不成三角形，故此种情况不成立；
（3）由D、E的运动速度及OA、AB的长可知：D、E在运动过程中总在OA、AB上；可分两种情况：
①∠ODC=∠ADE，此时△ODC∽△ADE；②∠ODC=∠AED，此时△ODC∽△AED；
根据上述两种情况所得到的比例线段即可求得t的值．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、一次函数的应用等知识，需注意的是（2）（3）都要根据不同情况分类讨论，以免漏解．