Question

【题目】如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，

得：a=﹣1+4，解得：a=3，

∴点A的坐标为（1，3）．

把点A（1，3）代入反比例函数y= ，

得：3=k，

∴反比例函数的表达式y= ，

联立两个函数关系式成方程组得： ，

解得： ，或 ，

∴点B的坐标为（3，1）

（2）解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．

∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），

∴点D的坐标为（3，﹣1）．

设直线AD的解析式为y=mx+n，

把A，D两点代入得： ，

解得： ，

∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5．

令y=﹣2x+5中y=0，则﹣2x+5=0，

解得：x= ，

∴点P的坐标为（ ，0）．

S△PAB=S△ABD﹣S△PBD= BD（xB﹣xA）﹣ BD（xB﹣xP）= ×[1﹣（﹣1）]×（3﹣1）﹣ ×[1﹣（﹣1）]×（3﹣ ）=

【解析】（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．