题目内容

已知直线 $数学公式$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，
求：（1）点C的坐标；
（2）图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式．

解：（1）设点C的坐标是（x，0），根据题意得
当x=0时，y= $\text{[math]}$ ；
当y=0时，x=1；
∴A点坐标是（1，0），B点坐标是（0， $\text{[math]}$ ），
∴（1-0）²+（0- $\text{[math]}$ ）²=（x-1）²+0²，
解得x=3或-1，
∴C点坐标是（3，0）或（-1，0）；

（2）设所求二次函数的解析式是y=ax²+bx+c，
把（1，0）、（0， $\text{[math]}$ ）、（3，0）代入函数得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴所求函数解析式是y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
把（1，0）、（0， $\text{[math]}$ ）、（-1，0）代入函数得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴所求函数解析式是y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ．
故所求的二次函数的解析式是y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 或y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先设点C的坐标是（x，0），分别令x=0、y=0，求出A、B点的坐标，再利用两点之间距离公式可得（1-0）²+（0- $\text{[math]}$ ）²=（x-1）²+0²，求解即可求C点坐标；
（2）先设所求二次函数的解析式是y=ax²+bx+c，然后分别把（1，0）、（0， $\text{[math]}$ ）、（3，0）以及（1，0）、（0， $\text{[math]}$ ）、（-1，0）代入函数，可得三元一次方程组，求解即可．
点评：本题考查了一次函数的性质、待定系数法求函数解析式、解三元一次方程组．解题的关键是运用坐标系内两点之间距离的公式．