题目内容
(2012•团风县模拟)如图.△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是
2
3 |
2
.3 |
分析:由AF=BF得到F为AB的中点,又DF垂直平分AC,得到D为AC的中点,可得出DF为三角形ABC的中位线,根据三角形中位线定理得到DF平行于CB,且DF等于BC的一半,由BC的长求出DF的长,由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°,同时由DE与EB垂直,ED与DC垂直,根据垂直的定义得到两个角都为直角,利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形,在直角三角形ADF中,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值,由∠A=30°,DF的长,求出AD的长,即为DC的长,由矩形的长BC于宽CD的乘积即可求出矩形BCED的面积.
解答:解:∵AF=BF,即F为AB的中点,又DE垂直平分AC,即D为AC的中点,
∴DF为三角形ABC的中位线,
∴DE∥BC,DF=
BC,
又∠ADF=90°,
∴∠C=∠ADF=90°,
又BE⊥DE,DE⊥AC,
∴∠CDE=∠E=90°,
∴四边形BCDE为矩形,
∵BC=2,∴DF=
BC=1,
在Rt△ADF中,∠A=30°,DF=1,
∴tan30°=
,即AD=
,
∴CD=AD=
,
则矩形BCDE的面积S=CD•BC=2
.
故答案为:2
∴DF为三角形ABC的中位线,
∴DE∥BC,DF=
1 |
2 |
又∠ADF=90°,
∴∠C=∠ADF=90°,
又BE⊥DE,DE⊥AC,
∴∠CDE=∠E=90°,
∴四边形BCDE为矩形,
∵BC=2,∴DF=
1 |
2 |
在Rt△ADF中,∠A=30°,DF=1,
∴tan30°=
DF |
AD |
3 |
∴CD=AD=
3 |
则矩形BCDE的面积S=CD•BC=2
3 |
故答案为:2
3 |
点评:此题考查了矩形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,锐角三角函数定义,三角形的中位线定理,以及平行线的性质,是一道多知识的综合性题,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
练习册系列答案
相关题目