题目内容
【题目】如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=
（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k= ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k=4．（2）平行，理由见解析；（3）满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．
【解析】
试题分析：（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值；
（2）连接AC，设D（x，5），E（3，
），则BD=3﹣x，BE=5﹣，得到
，从而求出
DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根据对称性求出B′E、B′D的表达式，列出
，即
=
，从而求出（5﹣
）2+x2=（3﹣x）2，即可求出x值，从而得到D点坐标．
解：（1）连接OE，如，图1，
∵Rt△AOE的面积为2，
∴k=2×2=4．
（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，
），则BD=3﹣x，BE=5﹣，
=
，
∴
∴DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，
），则CD=x，
BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．
作EF⊥OC，垂足为F，如图2，
易证△B′CD∽△EFB′，
∴
，即
=
，
∴B′F=，
∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=
，
∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，
在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，
由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，
（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，
解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，
∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．
