题目内容
（2002•湘西州）附加题：（计入总分）己知EF是半径为3cm的⊙O中的一条弦，且EF=4cm．P是⊙O上优弧EF上一动点（与E、F均不重合〕．（1）求sin∠EPF的值；
（2）问是否存在以E、F、P为顶点的面积最大的三角形，试说明理由．若存在，请求出这个三角形的面积．
【答案】分析：根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角，连接EO，并延长交圆于A，连接AF．∠EPF=∠EAF，求出求sin∠EAF的值，即为所求；
（2）EF一定，EF的垂直平分线与优弧EF的交点为顶点的面积为最大的三角形．
解答：解：（1）连接EO，并延长交圆于A，连接AF，sin∠EPF=sin∠EAF=4÷6=
；
（2）过O点作OB⊥EF于B，交优弧EF于C，
OB=
=
，S△EFP最大=4×（3+
）÷2=2（3+
）．
点评：本题综合考查三角函数，勾股定理，垂弦定理、圆周角的应用能力．
（2）EF一定，EF的垂直平分线与优弧EF的交点为顶点的面积为最大的三角形．
解答：解：（1）连接EO，并延长交圆于A，连接AF，sin∠EPF=sin∠EAF=4÷6=
；（2）过O点作OB⊥EF于B，交优弧EF于C，
OB=
=，S△EFP最大=4×（3+）÷2=2（3+）．点评：本题综合考查三角函数，勾股定理，垂弦定理、圆周角的应用能力．
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