题目内容
(2002•湘西州)如图,在直角坐标系中,以x轴上一点P(1,0)为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点,连接CP,∠APC=60度.(1)求⊙P的半径R;
(2)求A、B、D三点坐标;
(3)若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M,交y轴于N,求直线MN的解析式.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)由图可知⊙P的半径就是CP的长,直角三角形OPC中,有P点的坐标,也就有了PO的长,又已知了∠OPC的度数,因此根据三角形函数的知识可以求出CP的长.
(2)有了圆心P的坐标,有了半径的长,就有了AP,PB的长.根据P的坐标我们可以知道OP的长,那么OA和OB的长就可以求出来了,据此可得出A、B的坐标,在直角三角形OCP中,有OP,PC的长,那么OC的长可以根据勾股定理求出,根据垂径定理,OD=OC,因此D点的坐标也就求出来了.
(3)本题的关键是求出ON,OM的长,连接PQ后,根据Q是BC弧的中点,那么∠CPQ=∠MPQ=60°,因此∠PMQ=30°,MP=2R,(1)中已经求出了R的值,那么MP的值就能求出来了,有P点的坐标,因此可以得出OP的值进而求出OM的长,直角三角形OMN中,∠OMN=30°,MN=2ON,又知道了OM的长,可以根据勾股定理求出ON的长,有了OM,ON的长,M,N的坐标就可以确定,根据M、N的坐标用待定系数法就能求出MN所在直线的解析式.
解答:
解:(1)在Rt△POC中,∠APC=60°,
∴∠PCO=30°,PC=2PO=2,
∴⊙P的半径R是2.
(2)∵AP=BP=2,OA=PA-PO=2-1=1,
∴A(-1,0)、B(3,0),
∵
,
∴D(0,
).
(3)连接PQ,
∵Q是
的中点,∠APC=60°,∴∠CPQ=∠BPQ=60°.
∵MN切⊙P于Q,
∴PQ⊥MN.
在Rt△PQM中,∠PMQ=30°PM=2PQ=4,
在Rt△MNO中,MN=2ON,
∵MN2=ON2+OM2
∴(2ON)2=ON2+52得
,
∴M(5,0),N(0,
),
设直线MN的解析式为y=kx+b,
得方程组是:
,
解这个方程组得:
,
所以,直线MN的解析式是:
.
点评:本题考查了直角三角形,圆与一次函数的综合应用,本题中用直角三角形来求出坐标轴上的线段的长是解题的关键.
(2)有了圆心P的坐标,有了半径的长,就有了AP,PB的长.根据P的坐标我们可以知道OP的长,那么OA和OB的长就可以求出来了,据此可得出A、B的坐标,在直角三角形OCP中,有OP,PC的长,那么OC的长可以根据勾股定理求出,根据垂径定理,OD=OC,因此D点的坐标也就求出来了.
(3)本题的关键是求出ON,OM的长,连接PQ后,根据Q是BC弧的中点,那么∠CPQ=∠MPQ=60°,因此∠PMQ=30°,MP=2R,(1)中已经求出了R的值,那么MP的值就能求出来了,有P点的坐标,因此可以得出OP的值进而求出OM的长,直角三角形OMN中,∠OMN=30°,MN=2ON,又知道了OM的长,可以根据勾股定理求出ON的长,有了OM,ON的长,M,N的坐标就可以确定,根据M、N的坐标用待定系数法就能求出MN所在直线的解析式.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/images0.png)
∴∠PCO=30°,PC=2PO=2,
∴⊙P的半径R是2.
(2)∵AP=BP=2,OA=PA-PO=2-1=1,
∴A(-1,0)、B(3,0),
∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/0.png)
∴D(0,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/1.png)
(3)连接PQ,
∵Q是
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/2.png)
∵MN切⊙P于Q,
∴PQ⊥MN.
在Rt△PQM中,∠PMQ=30°PM=2PQ=4,
在Rt△MNO中,MN=2ON,
∵MN2=ON2+OM2
∴(2ON)2=ON2+52得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/3.png)
∴M(5,0),N(0,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/4.png)
设直线MN的解析式为y=kx+b,
得方程组是:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/5.png)
解这个方程组得:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/6.png)
所以,直线MN的解析式是:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105515097355555/SYS201310191055150973555029_DA/7.png)
点评:本题考查了直角三角形,圆与一次函数的综合应用,本题中用直角三角形来求出坐标轴上的线段的长是解题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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