Question

23、（1）如图①、图②，△ABC是等边三角形，点M是边BC上任意一点，N是BA上任意一点，且BN=CM，AM与CN相交于Q，先用量角器测量图①、图②中∠CQM的度数，并用图②证明你的猜想．
猜想：∠CQM=

60

度．
证明：

（2）如图3，若M是CB延长线上一点，N是BA延长线上一点，仍然满足△ABC为等边三角形，CM=CN，相交于Q，则（1）中猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）∠CQM为60度，由题不难得△ABM≌△CAN，由∠CQM为△AQM的外角，得∠CQM=∠QAC+∠QCA，因为∠QCA=∠BAM，推出∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；
（2）猜想还成立，根据已知即可推出△BNC≌△CMQ，推出∠N=∠M，由∠CQM=∠N+∠NAQ，通过等量代换即可推出结论．

解答：解：（1）∠CQM为60度，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠CAN=60°，
∵BN=CM，
∴AN=BM，
∴△ABM≌△CAN，
∴∠QCA=∠BAM，
∵∠CQM=∠QAC+∠QCA，
∴∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；

（2）成立，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CM=CN，
∴△BNC≌△CMQ，
∴∠N=∠M，
∵∠CQM=∠N+∠NAQ，
∴∠CNM=∠M+∠MAB=∠ABC=60°．

点评：本题主要考察等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，关键在于求证相关三角形全等．