题目内容
设x和y是正整数,x≠y,p是奇质数,并且1 |
x |
1 |
y |
2 |
p |
分析:根据x和y是正整数,x≠y,p是奇质数,由
+
=
可知xy=
,由k为正整数可得2xy=kp,再由质数的定义可知2t-1=1或2t-1=p,由x≠y及2t-1为质数即可得出结论.
1 |
x |
1 |
y |
2 |
p |
p(x+y) |
2 |
解答:解:
=
,得x+y=
=k,k为正整数可得2xy=kp,
所以p整除2xy,且p为奇质数,所以p整除xy,进而p整除x或y,
不妨设x=tp,则tp+y=2ty,得y=
为整数,又t与2t-1互质所以2t-1整除p,p为质数,
所以2t-1=1或2t-1=p,
若2t-1=1,得t=1,x=y=p,与x≠y矛盾;
若2t-1=p,则
=
,2xy=p(x+y)
∵P是奇质数,则x+y为偶数,x、y同奇偶性、只能同为xy=
必有某数含因数P,令x=aP
ay=
,2ay=p+y,
∴y=
,
到此可知,a、2a-1互质,2a-1整除P,又P是质数,则2a-1=p,a=y=
,
x=
•p=
∴x+y=
+
=
.
x+y |
xy |
2 |
p |
2xy |
p |
所以p整除2xy,且p为奇质数,所以p整除xy,进而p整除x或y,
不妨设x=tp,则tp+y=2ty,得y=
tp |
2t-1 |
所以2t-1=1或2t-1=p,
若2t-1=1,得t=1,x=y=p,与x≠y矛盾;
若2t-1=p,则
x+y |
xy |
2 |
p |
∵P是奇质数,则x+y为偶数,x、y同奇偶性、只能同为xy=
p(x+y) |
2 |
ay=
|
∴y=
ap |
2a-1 |
到此可知,a、2a-1互质,2a-1整除P,又P是质数,则2a-1=p,a=y=
(p+1) |
2 |
x=
(p+1) |
2 |
p(p+1) |
2 |
∴x+y=
p(p+1) |
2 |
(p+1) |
2 |
(p+1)2 |
2 |
点评:本题考查的是质数与合数、数的整除性问题,解答此题的关键根据题意得出p整除x或y,由质数的定义得到2t-1=1或2t-1=p,再进行讨论,此题难度较大.
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