题目内容
【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P′的坐标为(,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.
例如:P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+,2×1+4),即P′(3,6).
(1)①点P(﹣1,﹣2)的“2属派生点”P′的坐标为 _________ ;
②若点P的“k属派生点”P′的坐标为(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标_________ ;
(2)若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P′点,且△OPP′为等腰直角三角形,求k的值.
【答案】(1)(﹣2,﹣4);(1,2)(2)±1
【解析】
试题分析:(1)①只需把a=﹣1,b=﹣2,k=2代入(,ka+b)即可求出P′的坐标.
②由P′(3,3)可求出k=1,从而有a+b=3.任取一个a就可求出对应的b,从而得到符合条件的点P的一个坐标.
(2)设点P坐标为(a,0),从而有P′(a,ka),显然PP′⊥OP,由条件可得OP=PP′,从而求出k.
试题解析:(1)①当a=﹣1,b=﹣2,k=2时,
∴=﹣1+=﹣2,ka+b=2×(﹣1)﹣2=﹣4.
∴点P(﹣1,﹣2)的“2属派生点”P′的坐标为(﹣2,﹣4).
故答案为:(﹣2,﹣4).
②由题可得:,
∴ka+b=3k=3.
∴k=1.
∴a+b=3.
∴b=3﹣a.
当a=1时,b=2,此时点P的坐标为(1,2).
故答案为:(1,2).
说明:只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可.
(2)∵点P在x轴的正半轴上,
∴b=0,a>0.
∴点P的坐标为(a,0),点P′的坐标为(a,ka).
∴PP′⊥OP.
∵△OPP′为等腰直角三角形,
∴OP=PP′.
∴a=±ka.
∵a>0,
∴k=±1.
故答案为:±1.
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