题目内容
（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
①求证：BE=DF；
②连接AC交EF于点O，延长AC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（2）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
①画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；
②线段AC的长为
，AD的长为
③△ACD为
④若E为BC中点，求tan∠CAE的值．
①求证：BE=DF；
②连接AC交EF于点O，延长AC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
（2）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
①画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；
②线段AC的长为
2
| 5 |
2
，CD的长为| 5 |
| 5 |
| 5 |
5
5
；③△ACD为
直角
直角
三角形，四边形ABCD的面积为10
10
；④若E为BC中点，求tan∠CAE的值．
分析：（1）①求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；
②由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
（2）①利用平行线的性质得出AD的位置；
②利用图表中格线的长度利用勾股定理求出即可；
③利用勾股定理的逆定理得出△ACD的形状，再利用四边形的特殊性直接得出答案；
④利用E点的位置得出tan∠CAE=tan∠CAN的值．
②由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
（2）①利用平行线的性质得出AD的位置；
②利用图表中格线的长度利用勾股定理求出即可；
③利用勾股定理的逆定理得出△ACD的形状，再利用四边形的特殊性直接得出答案；
④利用E点的位置得出tan∠CAE=tan∠CAN的值．
解答：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE=DF；
②解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC（正方形四条边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），即CE=CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
（2）①如图所示；
②线段AC的长为：AC=
=2
，CD的长为：
=
，AD的长为：
=5；
故答案为：2
，
，5；
③∵AC=2
，CD=
，AD=5；
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积为：2S△ACD=2
×
=10；
故答案为：直角，10；
④∵E为BC中点，
∴AE延长线交MC中点于点N，
∴tan∠CAE=tan∠CAN=
=
．
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵
|
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE=DF；
②解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC（正方形四条边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），即CE=CF，
在△COE和△COF中，
|
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
（2）①如图所示；
②线段AC的长为：AC=
| 42+22 |
| 5 |
| 12+22 |
| 5 |
| 32+42 |
故答案为：2
| 5 |
| 5 |
③∵AC=2
| 5 |
| 5 |
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积为：2S△ACD=2
| 5 |
| 5 |
故答案为：直角，10；
④∵E为BC中点，
∴AE延长线交MC中点于点N，
∴tan∠CAE=tan∠CAN=
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
点评：此题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定以及勾股定理及逆定理和锐角三角函数关系等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
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