Question

（1998•天津）已知抛物线y=mx2-(3m+

4

3

)x+4与x轴交于两点A、B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：把y=0代入解析式中求出方程的两个根x₁、x₂，x₁、x₂就是A、B两个点的横坐标，它们的纵坐标都等于0，即A（x₁，0），B（x₂，0），所以AB=|x₁-x₂|，然后再求出C（0，4），由此可以求出AC，BC，由三角形ABC是等腰三角形可得：AC=AB或BC=AB或AC=BC，根据三种不同的情况列出三个不同的方程，分别求出m的值，然后再代入解析式中即可．

解答：解：y=mx2-(3m+

4

3

)x+4=（mx-

4

3

）（x-3），
设y=0，则x1=

4

3m

，x2=3，
∴A（

4

3m

，0），B（3，0），
设x=0，则y=4，
∴C（0，4），
①若AC=BC
因为CO垂直BC，所以他也是底边中线
所以 AO=BO=3
A（-3，0）

4

3m

=-3
∴m=-

4

9

；
②若BC=AB
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=|3-

4

3m

|=5
∴m=-

2

3

，m=

1

6

；
③若AC=AB
则AC=

AO2+OC2

，
∴AB=|3-

4

3m

|=

AO2+OC2

∴m=-

8

7

；
∴m=-

4

9

，-

2

3

，

1

2

，-

8

7

∴y=-

4

9

x²+4或y=-

2

3

x²+

2

3

x+4或y=

1

2

x²-

6

17

x+4或y=-

8

7

x²-

44

21

x+4．

点评：本题考查了二次函数和坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不小．