Question

观察下列各式：

1+ 1 3

=2

1 3

，

2+ 1 4

=3

1 4

，

3+ 1 5

=4

1 5

，…．
（1）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含自然数n（n为正整数）的代数式表示出来为：

 

；
（2）请你运用所发现的规律，写出第9个式子；
（3）请你验证所发现的规律．

Answer 1

分析：（1）此题应先观察列举出的式子，可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可；
（2）将n=9代入所求规律代数式，即可解决问题；
（3）将等式左边被开方数进行通分，把被开方数的分子开方即可．

解答：解：（1）上述式子的规用含自然数n（n为正整数）的代数式可表示为：

n+ 1 n+2

=(n+1)

1 n+2

(n为正整数)；
（2）当n=9时，可得到第9个式子为：

9+ 1 11

=10

1 11

．
（3）∵左边=

n(n+2)+1 n+2

=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=(n+1)

1 n+2

=右边．
∴

n+ 1 n+2

=(n+1)

1 n+2

．

点评：本题主要考查学生把特殊归纳到一般的能力及二次根式的化简，解题的关键是仔细观察，找出各式的内在联系解决问题．