题目内容

(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.
例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(-
1
2
,0),B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y=
3
4
x+3上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
分析:(1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0,y).因为|-
1
2
-0|≥|0-y|,所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-
1
2
-0|=
1
2

(2)①设点C的坐标为(x0
3
4
x0+3).根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=
3
4
x0+2,据此可以求得点C的坐标;
②当点E在过原点且与直线y=
3
4
x+3垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,即E(-
3
5
4
5
).解答思路同上.
解答:解:(1)①∵B为y轴上的一个动点,
∴设点B的坐标为(0,y).
∵|-
1
2
-0|=
1
2
≠2,
∴|0-y|=2,
解得,y=2或y=-2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,-2);
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
1
2


(2)①如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,需要根据运算定义“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”解答,此时|x1-x2|=|y1-y2|.即AC=AD,
∵C是直线y=
3
4
x+3上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点C的坐标为(x0
3
4
x0+3),
∴-x0=
3
4
x0+2,
此时,x0=-
8
7

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:|x0|=
8
7

此时C(-
8
7
15
7
);
②当点E在过原点且与直线y=
3
4
x+3垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,设E(x,y)(点E位于第二象限).则
y
x
=-
4
3
x2+y2=1

解得,
x=-
3
5
y=
4
5

故E(-
3
5
4
5
).
-
3
5
-x0=
3
4
x0+3-
4
5

解得,x0=-
8
5

则点C的坐标为(-
8
5
9
5
),
最小值为1.
点评:本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.
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