Question

如图，四边形OABC为直角梯形，A、B、C的坐标分别为（4，0）、（4，4）、（2，4），DEFG的边长为4的正方形，D、G在x轴上，当点D与点O重合时，此正方形开始向右运动；当点G与点A重合时，运动停止，设OD=x，此正方形和直角梯形重合部分的面积为S，回答下列问题：
（1）求x的取值范围；
（2）求tan∠COA的值；
（3）当x=2时，S=

 

；当x=4时，S=

 

；当x=6时，S=

 

；
（4）求S与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据点A的坐标和正方形DEFG的边长，即可求得x的取值范围；
（2）作CM⊥OA于M．根据矩形的性质和锐角三角函数的概念即可求解；
（3）分别正确画出对应的图形，根据图形的面积公式进行计算；
（4）根据（3）中的三种情况即可建立分段函数．

解答：解：（1）∵点A的坐标是（4，0），DEFG是边长为4的正方形，
∴x的取值范围是0≤x≤8．
（2）如图，作CM⊥OA于M．
则CM=AB=4，OM=OA-BC=4-2=2．
∴tan∠COA=2．
，

（3）如图1，当x=2时，则S=2×4÷2=4；
如图2，当x=4时，则S=（2+4）×4÷2=12；
如图3，当x=6时，则S=2×4=8．



（4）当0≤x≤2时，则S=

1

2

•x•2x=x²；
当2＜x≤4时，则S=

1

2

(x-2+x)×4=4x-4；
当4＜x≤6时，则S=-x²+8x-4；
当6＜x≤8时，则S=4（-x+8）=-4x+32．

点评：此题综合运用了直角梯形的性质和正方形的性质，特别注意解决动态的问题时，要画出一种符合条件的静态时的位置进行分析．