Question

圆的一条弦把圆分为度数比为1：5的两条弧，如果圆的半径为4，则弦长为

 

，该弦的弦心距为

 

圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数为

 

．

Answer 1

分析：（1）连OA，OB，OC⊥AB于C点，根据题意得弧AB的度数=

1

6

×360°=60°，得到△OAB为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得弦AB，弦心距；
（2）由弦长等于它的半径，即OA=OB=AB，得到△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，当弦AB所对的圆周角的顶点在优弧上，利用圆周角定理即可求得，当弦AB所对的圆周角的顶点在劣弧上，利用圆内接四边形对角互补即可得到．

解答：解：（1）如图，连OA，OB，OC⊥AB于C点

弦AB把⊙O分成1：5的两条弧，弧AB的度数=

1

6

×360°=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=4，OC=

3

2

AB=2

3

，
即弦AB=4，弦心距OC=2

3

．

（2）如图

AB为⊙O的弦，且OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠P=

1

2

AOB=30°，
∴∠Q=180°-∠P=150°．
即弦AB所对的圆周角为30°或150°．
故答案为4，2

3

；30°或150°．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了等边三角形的性质和圆周角定理以及圆内接四边形的性质．