题目内容
如图所示，已知一次函数y=kx+m（k，m为常数）的图象经过点A（0，6），B（3，0），二次函数y=a
x2+bx+c的图象经过点A和点C，点C是二次函数图象上的最低点，并且满足AC=2BC（1）求一次函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）判断关于x的方程ax2+bx+c=kx+m是否有实数根，如有，求出它的实数根；如没有，请说明理由．
分析：（1）将A（0，6），B（3，0）两点坐标代入y=kx+m中，列方程组求k、m的值即可；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥AO，可证△BCD∽△BAO，由相似的性质及AC=2BC，可求CD，代入直线AB的解析式可求OD，确定顶点C的坐标，设抛物线顶点式，将A点坐标代入，可求抛物线解析式；
（3）方程ax2+bx+c=kx+m可看作求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点横坐标值，观察图象可知，方程有两个不相等的实数根，即A、B两点的横坐标值．
（2）过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥AO，可证△BCD∽△BAO，由相似的性质及AC=2BC，可求CD，代入直线AB的解析式可求OD，确定顶点C的坐标，设抛物线顶点式，将A点坐标代入，可求抛物线解析式；
（3）方程ax2+bx+c=kx+m可看作求抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点横坐标值，观察图象可知，方程有两个不相等的实数根，即A、B两点的横坐标值．
解答：
解：（1）依题意得：
，
解得：
，
∴一次函数的解析式为y=-2x+6；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥AO，
∴△BCD∽△BAO，∴
=
，
∵AC=2BC∴
=
，∴CD=
AO=2，
当y=2时，-2x+6=2，解得x=2∴C（2，2），
由顶点C（2，2）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+2，
把A（0，6）代入上式，解得a=1
∴二次函数的解析式为y=（x-2）2+2；
（3）关于x的方程ax2+bx+c=kx+m有实数根．
理由：∵一次函数y=kx+m（k，m为常数）的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于点A、点C，
∴关于x的方程ax2+bx+c=kx+m的实数根为x1=0，x2=2．
解：（1）依题意得：
|
解得：
|
∴一次函数的解析式为y=-2x+6；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥AO，
∴△BCD∽△BAO，∴
| CD |
| AO |
| BC |
| BA |
∵AC=2BC∴
| BC |
| BA |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当y=2时，-2x+6=2，解得x=2∴C（2，2），
由顶点C（2，2）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+2，
把A（0，6）代入上式，解得a=1
∴二次函数的解析式为y=（x-2）2+2；
（3）关于x的方程ax2+bx+c=kx+m有实数根．
理由：∵一次函数y=kx+m（k，m为常数）的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于点A、点C，
∴关于x的方程ax2+bx+c=kx+m的实数根为x1=0，x2=2．
点评：本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
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