题目内容

【题目】已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣3,6),并与x轴交于点B(﹣1,0)和点C,与y轴交于点E,顶点为P,对称轴与x轴交于点D

Ⅰ)求这个二次函数的解析式;

Ⅱ)连接CP,DCP是什么特殊形状的三角形?并加以说明;

Ⅲ)点Q是第一象限的抛物线上一点,且满足∠QEO=BEO,求出点Q的坐标.

【答案】Ⅰ)二次函数解析式为y=x2﹣x﹣;(DCP是等腰直角三角形,理由见解析;(Ⅲ)点Q坐标为(5,6).

【解析】

(Ⅰ)把A(-3,6),B(-1,0)代入y=x2+bx+c,解方程组即可解决问题.

(Ⅱ)结论:DCP是等腰直角三角形.求出C、D、E三点坐标即可解决问题.

(Ⅲ)如图,连接BE、DE.只要证明EOB≌△EOD,得到∠DEO=BEO,所以直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q.求出直线DE的解析式,解方程组即可.

Ⅰ)把A(﹣3,6),B(﹣1,0)代入y=x2+bx+c,

得到

解得

∴二次函数解析式为y=x2﹣x﹣

Ⅱ)结论:△DCP是等腰直角三角形.

理由:对于抛物线y=x2﹣x﹣,令y=0,则x2﹣x﹣=0,解得x=﹣13,

∴点C坐标(3,0),

x=0y=﹣

∴点E坐标(0,﹣),

y=x2﹣x﹣=(x﹣1)2﹣2,

∴顶点P坐标(1,﹣2),点D坐标(1,0),

CD=PD=2,

∵∠PDC=90°,

∴△PDC是等腰直角三角形.

Ⅲ)如图,连接BE、DE.

B(﹣1,0),D(1,0),E(0,﹣

OB=OD,OE=OE,BOE=DOE,

∴△EOB≌△EOD,

∴∠DEO=BEO,

∴直线DE与抛物线的交点即为所求的点Q.

设直线DE的解析式为y=kx+b,则有

解得

∴直线DE的解析式为y=

解得

∴点Q坐标为(5,6).

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