Question

如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a ， h，且是关于x的一元二次方程mx²+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S_⊙O，矩形PDEF的面积为S_矩形PDEF。
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n ，k的取值是否有关？请说明理由。

Answer 1

解：（1）据题意，∵a+h=， ∴所求正方形与矩形的面积之比：， ∵ ∴ 由知m，k同号， ∴mk>0 ∴ 即正方形与矩形的面积之比不小于4；
（2）∵∠FED=90°， ∴DF为⊙O的直径， ∴⊙O的面积为：， 矩形PDEF的面积：， ∴面积之比：， 设， ， ∵ ∴ ∴ 即时（EF=DE），的最小值为；
（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形， 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e， ∵BN∥FE，NF∥BE， ∴BN=EF， ∴BN =FP=e， 由BC∥MQ，得：BM=AG=h， ∵AQ∥BC，PF∥BC， ∴AQ∥FP， ∴△FBP∽△ABQ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关。