题目内容

【题目】如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.

(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.

【答案】
(1)

解:∵AB是⊙O直径,C在⊙O上,

∴∠ACB=90°,

又∵BC=3,AB=5,

∴由勾股定理得AC=4


(2)

解:证明:

∵AC是∠DAB的角平分线,

∴∠DAC=∠BAC,

又∵AD⊥DC,

∴∠ADC=∠ACB=90°,

∴△ADC∽△ACB,

∴∠DCA=∠CBA,

又∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∵∠OAC+∠OBC=90°,

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,

∴DC是⊙O的切线


【解析】(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得AC的长即可;(2)连接OC,证OC⊥CD即可;利用角平分线的性质和等边对等角,可证得∠OCA=∠CAD,即可得到OC∥AD,由于AD⊥CD,那么OC⊥CD,由此得证.此题主要考查的是切线的判定方法.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.

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