Question

如图，直线y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以x轴上点M为圆心，过A、B两点作⊙M与x轴交于另一点C．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）①求经过A、B、C三点的抛物线的顶点D的坐标；
②求证：DB是⊙M的切线；
（3）若半径为1的⊙P与x轴和直线BD都相切，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意，连接BC可得AC是⊙O直径，进而可得OB²=OA•OC，进而可得圆心的坐标与半径的大小；
（2）设出其解析式，并用三点式求抛物线解析可得答案；
（3）根据题意，半径为1的⊙P与x轴相切，故P的纵坐标的绝对值为1，即为±1，将其值代入抛物线解析式，即可得到其横坐标，综合可以写出P的坐标．

解答：解：（1）y=2x-4与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，-4）．（1分）
解法（一）：连接BC，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°OB⊥AC．
∴OB²=OA•OC．
即4²=2OC．
∴OC=8．
∴直径AC=8+2=10．
∴半径R=5，圆心M坐标（-3，0）．（3分）
解法（二）：连接MB，易知MB²=MO²+BO²
即R²=（R-2）²+4²，
∴R=5．
∴圆心M坐标为（-5，0）．
解法（三）：M点是AB的中垂线与x轴的交点，
AB：y=2x-4故可设中垂线y=-

1

2

x+b过AB中点（1，-2），
故y=-

1

2

x-

3

2

．
∴圆心M坐标为（-5，0）
∴半径R=3+2=5．
（解法（二）、（三）参考给分）

（2）①设过A（2，0），B（0，-4），C（-8，0）的解析式为y=a（x-2）（x+8），
∴-4=a（0-2）（0+8）．
∴a=

1

4

．
∴y=

1

4

（x-2）（x+8）=

1

4

x²+

3

2

x-4（5分）
=

1

4

（x+3）²-

25

4

．（6分）
∴顶点D的坐标为（-3，-

25

4

）．（7分）
（用三点式求抛物线解析式参考给分）
②解法（一）：
连MD、MBl则MD2=(

25

4

)2=

625

16

&MB2+BD2=52+(

25

4

-4)2+32=

625

16

，
∴MD²=MB²+BD²
∴∠MBD=90°．
∴BD是⊙M的切线．（8分）
解法（二）：直线MB过点M（-3，0）、B（0，-4），
∴y=-

4

3

x-4．
直线BD过点D（-3，-

25

4

）、B（0，-4）
∴y=

3

4

x-4．
∵k₁k₂=-

4

3

×

3

4

=-1，
∴直线MB与DB垂直．
∴BD是⊙M的切线．
（其它解法参考给分）

（3）P₁（

25

3

，1）、P₂（

17

3

，-1）、P₃（

7

3

，-1）、P₄（5，1）（12分）
（写一个点坐标给1分）．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．